一般来讲，危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。从哲学 上来看，矛盾是无处不在的，不可避免的，即便以确定无疑著称 的数学也不例外。数学中有大大小小许多矛盾，比如正与负、加 与减、实数与虚数、有理数与无理数、微分与积分等等。在整个 数学发展过程中还有许多深刻的矛盾，例如有穷与无穷，连续与 离散，存在与构造，逻辑与直观，具体对象与抽象对象，概念与 计算等等。在数学史上，贯穿着矛盾的斗争与解决。当矛盾激化 到涉及整个数学基础时，就产生数学危机。危机的解决，往往给 数学带来新的内容，新的进展，甚至引起革命性的变革。
　　至今，数学史上已经有过三次数学危机。
　　从某种意义上来讲，现代意义下的数学，也就是作为演绎系 统的纯粹数学，来源于古希腊毕达哥拉斯学派。这个学派兴旺的 时期为公元前,++年左右。他们认为“万物皆数”，数学的知识 是可靠的、准确的，而且可以应用于现实的世界。数学的知识是 由于纯粹的思维而获得，并不需要观察、直觉及日常经验。毕达 哥拉斯的数指的是整数，他们在数学上的一项重大发现是证明了 勾股定理。他们知道满足直角三角形三边长的一般公式，但由此 也发现了一些直角三角形的三边比不能用整数来表达。这样一 来，就否定了毕达哥拉斯派的信条：宇宙间的一切现象都能归结 为整数或整数之比。这个问题的证明很简单，在欧几里德的《几 何原本》第十篇中就有证明。例如两边长为1的直角三角形，第 三边弦的长度设为2，约去 、3的公因数，则 、3之中至少
　　2　　 2
　　3 有一个是奇数。按照毕达哥拉斯定理151624，有 4 更多：https://www.bmcx.com/
　　 4 4　　 246434
　　3 是偶数，从而2必是偶数，因此3是奇数。设2647，则7746 434，36474，从而3是偶数。这样就导致矛盾。所以不能以整
　　 4 数之比来表示，也就是勾长或股长与弦长是不可通约的。不可通 约性的发现引起了第一次数学危机。同时，也发现了无理数， （例如，上面2464，没有这样的有理数2，它平方后等于4，只
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