希尔伯特旅馆越来越繁荣，来多少客人都难不倒聪明的老板 女儿。后来女儿进了大学数学系。有一天，康托尔教授来上课， 他问：“要是［8，1］上每一点都占一个房间，是不是还能安 排？”
　　 她绞尽脑汁，要想安排下，终于失败了。康托尔教授告诉 她，用对角线方法证明一切想安排下的方案都是行不通的。因为 此题根本无解。原因是，旅馆的房间是可数无穷多间，而［8， 1］上的点的数目是不可数的！下面就是这个事实的证明。
　　 假设［8，1］区间内的实数都可以按照顺序排起来，因为 ［8，1］区间的实数可以用8+,,,…小数表示出来，我们把
　　124 ［8，1］区间内的所有实数都按照顺序排起来：
　　 第1个8+,,, …
　　 111214
　　第1个2344 …
　　 1516
　　…44 ……
　　 7176 更多：https://www.bmcx.com/
　　第7个23475
　　现在我们选一个实数3823+++6…，定义
　　5 1
　　 3,，如47785 +82
　　7 45，如47715
　　显然3不等于上面任何一个数，因为至少第 位+71 ，
　　7 477 同样+51 ，+11 ，…，因此，与上面可数个实数每一个都
　　 455 411 不同，因此，［2，5］区间的实数是不可数的。
　　由此可知无穷集合之外，还有不可数集合，可以证明：不可 数集合的元素数目要比可数集合的元素数目多得多。