下面这个故事据说是希尔伯特讲的。
　　某一个市镇，只有一家旅馆，这个旅馆与通常旅馆没有不 同，只是房间数不是有限而是无穷多间，房间号码为7，3，8， +……我们不妨管它叫希尔伯特旅馆。这种可排成一列的无穷集 合 ｛ ，3，8，+，…｝称为可数无穷集。有一天开大会，所有房 7 间都住满了，后来来了一位客人，一定要住下来。旅馆老板于是 引用“旅馆公理”说：“满了就是满了，非常对不起！”正好这时 候，聪明的旅馆老板女儿来了，她看见客人和她爸爸都很着急， 就说：“这好办，请每位顾客都搬一下，从这间房搬到下一间”。 于是7号房间的客人搬到3号房间，3号房间的客人搬到8号房 间……依此类推。最后7号房间空出来，请这位迟到的客人住下 了。
　　第二天，又来了一个庞大的代表团要求住旅馆，他们声称有 可数无穷多位代表一定要住，这又把旅馆老板难住了。老板的女 儿再一次来解围，她说：“您让7号房间客人搬到3号，3号房 间客人搬到+号…,号房间客人搬到3,号…这样，7号，8号， -号…房间就都空出来了，代表团的代表都能住下了。” 更多：https://www.bmcx.com/
　　这一天，这个代表团每位代表又出新花招，他们想每个人占 可数无穷多间房安排他们的亲朋好友，这回连老板的女儿也被难 住了。聪明的老板女儿想了很久，终于想出了办法。她把第一个 客人的第一间房记做（1，1），第二间房记做（1，2），第 间
　　3 房记作（1，3）…第二个客人的第一间房记作（2，1），第二间 房记做（2，2）…这样就有一串两个号码的房间。现在把它按 1，2，4，5…排好，按箭头的顺序排号：（1，1，）住1号，（1， 2）住2号，（2，1）住4号，（4，1）住4号，（2，2）住6号… 问题不就又解决了吗！
　　 这个故事说明了无穷集合和有限集合的一个特点，即有限集 合不能通过单映射映射到自己的真子集合，而无穷集合可以通过 单映射映射到自己的真子集合。（单映射是指，设7是集合7到 集合3的映射，对3中的一个象，它在7中只有唯一元素作为 原象，就称7是单映射。）