有一百盏电灯，排成一横行。从左自右，我们给电灯编上号 码4，5，7，…，77，433。每一盏灯由一个拉线开关控制着。 最初，电灯全是关着的。
　　另外，还有一百个学生。每一个学生走过来，把凡是号码是 4的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第二个学生走了过来，把 凡是号码是5的倍数的电灯开关拉了一下；第三个人再走过来， 把凡是号码是7的倍数的电灯上的开关拉了一下，如此下去，最 后那个学生走过来，把编号能被433整除的电灯上的开关拉一 下。这样做过之后，问：“哪些灯是亮着的？”
　　这简直令人眼花缭乱，不易理出头绪，方法不当就更不得要 领。
　　正确的思考是：由于最初所有的电灯都是关着的，所以被拉 了偶数次开关的电灯，仍然是关着的；只有那些被拉了奇数次开 关的电灯才是亮着的，因此，人们只需去关心那些被拉过奇数次 开关的电灯。
　　按照问题所规定的法则，编号为1的电灯被拉过几次呢？要 看整数1中有多少个正因数。如果1不是平方数，那么1的全部 正因数的个数是偶数，这盏灯是关着的。只有当1是平方数时， 1的全部正因数个数是奇数，这盏电灯被拉过奇数次，因此它是 亮着的。
　　 这样，我们知道了，只有编号为 1，2，3，14，56，74，23，42，71，133的灯是亮着的。
　　为什么这是一个胜负已定的游戏
　　 我们下象棋、下围棋、既有实力的较量，也有临场发挥的好 坏，所以，应该说旗鼓相当，胜败难定。今天我们玩的游戏可不 一样，当还不了解其中的数学道理时，变化是难测的；一旦知道 了其中的规律，胜负是可以确定的。
　　 我们把十余根火柴随意分成三堆；游戏的双方依次从某一堆 里取走火柴，取的根数不限，但至少取一根；也不能同时从不同 堆里取，取到最后一根火柴的人获胜。
　　 很显然，如果三堆中，有二堆一样多，那么先拿者一方取 胜。因为他只要第一次全部取走第三堆，剩下一样多的两堆，以 后再取时，总是在另一堆里取走和对手拿的一样的多，即可取走 最后一根火柴。这样的局势不妨叫胜局（先取者胜利的局势）。
　　 如果三堆的根数都不一样，判断胜负就比较复杂了。例如 （1，5，7），只可能有下面的六种取法： （1，5，7）甲取（3，5，7）乙取（3，5，5）甲败
　　 1 1 （1，5，7）甲取（1，1，7）乙取（1，1，3）甲败 更多：https://www.bmcx.com/
　　 1 1 （1，5，7）甲取（1，3，7）乙取（1，3，1）甲败
　　 1 1 （1，5，7）甲取（1，5，5）乙取（3，5，5）甲败
　　 1 1 （1，5，7）甲取（1，5，1）乙取（1，3，1）甲败
　　 1 1 （1，5，7）甲取（1，5，3）乙取（1，1，3）甲败
　　 1 1
　　由此看来，（1，2，3）将是一个败局（先取者失败的局势）。
　　有没有更加简便的方法来确定一个局势的胜负呢？我们利用 二进制记数法与“数位和”，就可以比较简单地做到这点：
　　所谓二进制记数法，就是45（161），25（16），75
　　 2 2 （116）。
　　 2
　　所谓数位和是一种特殊的加法（如竖式所示）。