遗留两千多年的第五公设问题，在1536年由罗巴切夫斯基 从反面解决了。他是怎么解决的呢？他试图用反证法证明第五公 设，保留下了欧几里得第五公设以外的一切公设和公理，并且否 定了第五公设，即假定“同一直线的垂线与斜线不一定相交” （这一个是第五公设等价的命题的否定形式）出发，运用逻辑证 明推导下去，如果出现矛盾，就证明了第五公设。然而，罗巴切 夫斯基推出了一连串的命题，形成了一个严密的新的几何体系， 没有任何矛盾，因而，罗巴切夫斯基认为这个新的公理体系建立 起来的几何体系代表了一种新的几何学，并把它称为“虚几何 学”，并且于1536年在嘉桑大学物理数学系的会议上宣讲了他的 关于《虚几何学》的论文。1532年又在他首次发表的著作《关 于几何原理》中，阐明了第五公设不能从其余的公设与公理推 出，理由就是“虚几何学”的存在。从而彻底解决了第五公设问 题。
　　罗巴切夫斯基的“虚几何学”，即一种非欧几何学，在同时 代的学者来看是荒谬的，因为两千多年来传统思想一直认为欧几 里德几何学，也就是现行中学中的几何学是唯一正确的。而新的 几何学的许多命题与传统观念相违背，如在新几何中，三角形的 内角和小于二直角，引起了一些人的攻击。但罗巴切夫斯基并没 有因此灰心，继续新几何的研究，相继发表了许多文章，并试图 在实践中验证。
　　在同一时期，高斯和约·鲍耶分别独立地建立起了同样的非 欧几何。但高斯生前未发表。 更多：https://www.bmcx.com/
　　当罗巴切夫斯基发表《虚几何学》的二十八年后，德国著名 数学家黎曼又提出了既不是欧几里德又不是罗巴切夫斯基的黎曼 几何学。黎曼几何中没有平行线，采用公理“同一平面上的任何 直线都相交”代替第五公设而建立起的。在这种几何里，三角形 的内角和大于二直角。
　　非欧几何的产生进一步说明了公理方法的重要作用，它的产 生彻底解决了第五公设问题，肯定了第五公设不是欧几里德几何 其余公理的推论，扩大了几何学的内容和意义，扩展了空间观 念，解放了人们的思想，这对数学的发展有深远的影响。