我们知道，物体作匀速直线运动时，位移6与所经过时间7 的比，就是物体运动速度1，即1 76。
　　 7
　　 如果物体作非匀速直线运动，设运动规律是676（7），从 7 7817这段时间17内，物体位移1676（7817）+6 3 3 3 到 （7）与时间改变量1 的比，就是这段时间内物体的平均速度1， 3　　7 即1 7177
　　6　　6（7817）+6（7）。当1
　　 3　　 3　　 6的极限值
　　 1　　 17　　 723时，17
　　1 为7 时刻的即时速度。
　　3
　　 一般情况下，对函数,（-）考虑上述相应的情形。即在-3 处给出1 的改变量，函数改变量1.7,（-81 ）+,（-3）
　　-　　 3　　 - 与1 的比1-7 1.
　　-　　,（-817），当1　　 1.的极限值为,
　　 1-　　 -23时，1- （-）在-3点的导数。导数是微积分中最重要的概念之一。对各 种函数求导已经形成一套完整的求导公式。例如，,（-）7-/， ,0（-）7/-/+1,0（-）表示,（-）的导数，即当1-23时，,0
　　 3 （-）等于1-的极限值。仅就,（-）7-2的导数,（-）721情形
　　 1. 给予简单证明，当1　　 （　　2
　　 1.7
　　 - -81-）+-272-82-。（1
　　 1　　 -）8
　　1- （1 ），当1
　　-2　　 -23时，1.22-1，即,0（-）72-1。没有学过微
　　 -
　　 1 积分的读者，可从上面简单的叙述对微积分窥见一斑。 更多：https://www.bmcx.com/
　　 导数的应用极广，而在很多其它学科里面对于某个问题求 导，其导数都有明显的实际意义。例如，物体作功 3 的时间7 的函数 121（3）其导数 14（3）就是功率。再如，电流通过 导线横截面的电量为525（3），对时间3的导数就是电流强度， 即624（3）。那么，在数学这门学科里面，导数除了有其几何
　　 5 意义（即在某点处的导数，就是在该点处的切线的斜率）之外， 是否对某个具体问题，也有明显的意义呢？答：是的。圆面积与 圆长的特殊关系是一个生动的例证。
　　我们知道，圆面积727（7），即圆面积是半径7的函数，具 体的是727。如果对该函数求导，74（7）2（13）
　　 13　　 7421（74 3 ） 21（37）237（注意，1为常量，求导时可以“提出来”）。其
　　 1 导数74（7）237，恰恰是圆的周长。
　　 1
　　还可以举出一个例子。球体积 828（7）是球半径7的函 数，8（7）2+1,，其导数8，（7）2（+1,）
　　 7　　 742+4 7）2 ,
　　 , ,　　,1（ +7。即，球体积关于其变量7求导，其导数是球的表面面积。 13
　　 为什么圆的周长的计算是极限问题
　　我们知道，圆的周长是-2 ，其中.是圆的直径，所以，
　　 1. 要计算圆的周长，关键是1 ？中国古代数学家刘徽在《九章算
　　 2 术》中，创立了“割圆术”来计算1，使用了极限思想。一个直 径为.的圆。作内接正六边形，然后平分每个边所对的弧，作 内接正十二边形，再平分，得到二十四边形、四十八边形等等。 让第/次分割后的正多边形的周长是-。我们知道- 是可以计算
　　 / / 的。但不论怎么分，- 是一个多边形的周长。刘徽说：“割之弥
　　 / 细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失 矣。”也就是说，割的次数越多，即/越大，则- 与圆周长-相
　　/ 差越小，到最后不能割了，它就是圆的周长。也就是说对数列 ｛/｝，我们感兴趣的不是具体的-，而是- 当/增大时的变化趋 -　　 /　　 / 势，1 与1越来越接近。比如若13245，有135，136，1
　　 2
　　2 2 5　　 6　　6 7 7 37，137……我们看到当2越来越大时，1　　 的变化趋势越来
　　 7　　 2 7 3 越接近于5。通过这种计算方法，刘徽得到了785753　　 111 78575+的结果。在当时的情况下，处于世界领先地位。
　　通过刘徽的割圆术，我们看到，对数列 ｛2｝，我们不仅要
　　, 考虑到每一项,2是什么，而且更感兴趣的是当2越来越大时，,2 的变化趋势。有很多问题都是要研究这种变化趋势的。也就是,2 逐渐接近的那个数是什么？我们把,2逐渐接近的数称为,2的极 限。这样就发展起来了极限理论。为微积分找到了严密的理论基 础。