五面体和四面体的组合体，要想获得最少的面，完全可以想 象，它们有一个面重合，这样就得到了7373468个面。面数 还能否再减少些呢？这就决定于五面体和四面体的形状了。如果 五面体是一个正四棱锥，四面体是一个正四面体，且正四棱锥的 侧面能与正四面体的面重合，这时的组合体就是五面体。我们来 证明一下这个问题。
　　我们把正四面体的面+,-与正四棱锥的侧面1./重合，得 到一个多面体，这个多面体有平面 0./1、10.、1.2、12/、 11/、101、2./等七个面，但仔细一观察发现10.与1.2 共面，11/与12/共面，七个面再减少两个面，就只剩五个面 了。
　　平面10.与1.2共面也是不难证明的。
　　在棱1.上取中点 ，连结
　　3　　30、31、32显然：103/、 123/分别是二面角/31.30与21.31的平面角，这样， 只要证明1 03/3123/62456，即证平面10.与平面1.2 共面。
　　若设棱长0.67 203/中，0/647，0363/637　　8
　　 3
　　 4
　　 4
　　由余弦定理，9:;
　　 103/603433/30/4
　　403·3/ （14）5（14）6343 2　　3　　 2 3 3　　 3 1　　 167 3（14）·（14）
　　2　　2　　 2
　　3　　3
　　则2 73814+,,-./（67）1164+,,-.7 更多：https://www.bmcx.com/
　　 2　　 2
　　在3 830中，8014，30130114　　2
　　 3
　　3　　3
　　由余弦定理：,-. 28301385306803
　　33830
　　 · （14）5（14）643 2　　3　　 2 3 3　　 3 1　　 17 3（14）·（14）
　　2　　2　　 2
　　 3　　3
　　则2 83014+,,-.7
　　 2
　　即证：2 730528301164+,,-.754+,,-.711
　　 7　　 2　　2
　　同理，平面230与平面280也共面。